मान लीजिए a, b, c in R है। यदि f(x) = ax^2 + | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x) = ax^2 + bx + c$। $f(x+y) = f(x) + f(y) + xy$ में $x=0, y=0$ रखने पर $f(0) = f(0) + f(0) + 0$ प्राप्त होता है,अतः $f(0) = 0$। इस

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$330$

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(B) दिया गया है $f(x) = ax^2 + bx + c$। $f(x+y) = f(x) + f(y) + xy$ में $x=0, y=0$ रखने पर $f(0) = f(0) + f(0) + 0$ प्राप्त होता है,अतः $f(0) = 0$। इस प्रकार,$c = 0$। $a+b+c = 3$ दिया गया है,और चूंकि $c=0$,इसलिए $a+b = 3$ प्राप्त होता है। साथ ही,$f(x+y) = a(x+y)^2 + b(x+y) = a(x^2 + 2xy + y^2) + bx + by = (ax^2 + bx) + (ay^2 + by) + 2axy$। इसे $f(x+y) = f(x) + f(y) + xy$ के साथ तुलना करने पर,$2axy = xy$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $2a = 1$,इसलिए $a = 1/2$। चूंकि $a+b = 3$,इसलिए $b = 3 - 1/2 = 5/2$। अतः,$f(n) = \frac{1}{2}n^2 + \frac{5}{2}n = \frac{n^2 + 5n}{2}$। अब,$\sum_{n=1}^{10} f(n) = \sum_{n=1}^{10} \frac{n^2 + 5n}{2} = \frac{1}{2} \left[ \sum_{n=1}^{10} n^2 + 5 \sum_{n=1}^{10} n ight]$। सूत्रों $\sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum n = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर: $\sum_{n=1}^{10} n^2 = \frac{10 	imes 11 	imes 21}{6} = 385$। $\sum_{n=1}^{10} n = \frac{10 	imes 11}{2} = 55$। इसलिए,$\sum_{n=1}^{10} f(n) = \frac{1}{2} [385 + 5(55)] = \frac{1}{2} [385 + 275] = \frac{660}{2} = 330$।

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